Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Use o teorema binomial.

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Etapa 2.1.2.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

Etapa 2.1.2.4

Remova os parênteses.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Etapa 2.1.2.5

A resposta final é $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Etapa 2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Etapa 2.2.2

Mova $x$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

Etapa 2.2.3

Mova $2 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

Etapa 2.2.4

Mova $6 h x^{2}$ .

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Etapa 2.2.5

Reordene $6 h^{2} x$ e $2 h^{3}$ .

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Etapa 4.1.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

Etapa 4.1.3

Some $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.4

Fatore $2 h$ de $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Fatore $2 h$ de $2 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.4.2

Fatore $2 h$ de $6 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.4.3

Fatore $2 h$ de $6 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Etapa 4.1.4.4

Fatore $2 h$ de $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Etapa 4.1.4.5

Fatore $2 h$ de $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

Etapa 4.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

Etapa 4.4

Mova $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

Etapa 4.5

Mova $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

Etapa 4.6

Reordene $6 x h$ e $6 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Etapa 6

Avalie o limite de $6 x^{2}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Etapa 7

Mova o termo $6 x$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Etapa 8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2}$

Etapa 9

Mova o expoente $2$ de $h^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Etapa 10

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Multiplique $6 x \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1.1

Multiplique $0$ por $6$ .

$6 x^{2} + 0 x + 2 \cdot 0^{2}$

Etapa 11.1.1.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Etapa 11.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0$

Etapa 11.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 0$

Etapa 11.2

Combine os termos opostos em $6 x^{2} + 0 + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Etapa 11.2.2

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$6 x^{2}$

Etapa 12