Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 5$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 5$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Use o teorema binomial.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

Etapa 2.2

Reordene.

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Etapa 2.2.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

Etapa 2.2.2

Mova $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5$

Etapa 2.2.3

Mova $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 5$

Etapa 2.2.4

Mova $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

Etapa 2.2.5

Reordene $3 h^{2} x$ e $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

$f (x) = x^{3} - 5$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

$f (x) = x^{3} - 5$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - (x^{3} - 5)}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - x^{3} + 5}{h}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - x^{3} + 5}{h}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 5 + 5}{h}$

Etapa 4.1.4

Some $h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 + 5}{h}$

Etapa 4.1.5

Some $- 5$ e $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

Etapa 4.1.6

Some $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.7

Fatore $h$ de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

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Etapa 4.1.7.1

Fatore $h$ de $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.7.2

Fatore $h$ de $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.7.3

Fatore $h$ de $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Etapa 4.1.7.4

Fatore $h$ de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Etapa 4.1.7.5

Fatore $h$ de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Etapa 4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.2.1

Mova $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

Etapa 4.2.2.2

Mova $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

Etapa 4.2.2.3

Reordene $3 x h$ e $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Etapa 6

Avalie o limite de $3 x^{2}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Etapa 7

Mova o termo $3 x$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Etapa 8

Mova o expoente $2$ de $h^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Etapa 9

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 9.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Etapa 9.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Multiplique $3 x \cdot 0$ .

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Etapa 10.1.1.1

Multiplique $0$ por $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

Etapa 10.1.1.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

Etapa 10.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Etapa 10.2

Combine os termos opostos em $3 x^{2} + 0 + 0$ .

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Etapa 10.2.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 10.2.2

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 11