Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{2}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h))$

Etapa 2.1.2.2

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h))$

Etapa 2.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Etapa 2.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Etapa 2.1.2.3.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Etapa 2.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2}$

Etapa 2.1.2.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

Etapa 2.1.2.6

A resposta final é $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

Etapa 2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2}$

Etapa 2.2.2

Reordene $6 h x$ e $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - (3 x^{2})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 3 x^{2}}{h}$

Etapa 4.1.2

Subtraia $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

Etapa 4.1.3

Some $3 h^{2} + 6 h x$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

Etapa 4.1.4

Fatore $3 h$ de $3 h^{2} + 6 h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Fatore $3 h$ de $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

Etapa 4.1.4.2

Fatore $3 h$ de $6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

Etapa 4.1.4.3

Fatore $3 h$ de $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $3 (h + 2 x)$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x)$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x)$

Etapa 4.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x$

Etapa 4.2.3.2

Reordene $3 h$ e $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $6 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

Etapa 5.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h$

Etapa 6

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$6 x + 3 \cdot 0$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$6 x + 0$

Etapa 7.2

Some $6 x$ e $0$ .

$6 x$

Etapa 8