Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 3.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 3.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5

Some $1$ e $1$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 3.6

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

Etapa 3.6.5

Simplifique.

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

Etapa 4

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

Etapa 4.1.2

A resposta final é $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ .

$\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

Etapa 4.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

Etapa 5

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} - (\frac{\sqrt{x}}{x})}{h}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Para escrever $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

Etapa 6.1.2

Para escrever $- \frac{\sqrt{x}}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 6.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 6.1.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{x}}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.3.3

Reordene os fatores de $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{x (x + h)} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5

Reescreva $\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + h}$ como ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.4

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.4.1

Mova $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.4.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{1 + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2 + 1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.4.5

Some $2$ e $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.5

Reescreva ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.5.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.5.1.1

Reordene ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ e $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.5.1.2

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.5.1.3

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.5.1.4

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{1}{2}} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.5.1.5

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.5.1.6

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} - h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.5.2

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.5.3

Simplifique.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.6

Reduza a expressão $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.5.6.1

Fatore $x$ de $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h))}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.6.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h))}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 6.1.5.6.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x + h}}{h}$

Etapa 6.1.6

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

Etapa 6.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

Etapa 6.4

Reordene os fatores em $\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

Etapa 7

Simplifique o argumento do limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Converta expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

Etapa 7.1.2

Reescreva ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

Etapa 7.1.3

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h} - x - h}{h \sqrt{x} (x + h)}$

Etapa 7.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x (x + h)} - x - h}{h \sqrt{x} (x + h)}$

Etapa 8

Since the numerator is negative and the denominator $h \sqrt{x} (x + h)$ approaches zero and is less than zero for $h$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$

Etapa 9