Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} + 1$ , $[2, 3]$

Etapa 1

Encontre a derivada de $f (x) = x^{3} + 1$ .

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f' (x)$ é contínuo em $[2, 3]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f'$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\int_{2}^{3} 3 x^{2} d x)$

Etapa 6

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 \int_{2}^{3} x^{2} d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}))$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}))$

Etapa 8.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

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Etapa 8.2.2.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.2.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{2^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{8}{3}))$

Etapa 8.2.2.4

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}))$

Etapa 8.2.2.5

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}))$

Etapa 8.2.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3 - 8}{3}))$

Etapa 8.2.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.2.7.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27 - 8}{3}))$

Etapa 8.2.2.7.2

Subtraia $8$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{19}{3}))$

Etapa 8.2.2.8

Combine $3$ e $\frac{19}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Etapa 8.2.2.9

Multiplique $3$ por $19$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{57}{3})$

Etapa 8.2.2.10

Cancele o fator comum de $57$ e $3$ .

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Etapa 8.2.2.10.1

Fatore $3$ de $57$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Etapa 8.2.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 (1)})$

Etapa 8.2.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1})$

Etapa 8.2.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{19}{1})$

Etapa 8.2.2.10.2.4

Divida $19$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (19)$

Etapa 9

Subtraia $2$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Etapa 10.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = 1 \cdot 19$

Etapa 11

Multiplique $19$ por $1$ .

$A (x) = 19$

Etapa 12