Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Etapa 1

Encontre a derivada de $f (x) = 2 \sqrt{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.10

Combine $2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.12

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.13

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f' (x)$ é contínuo em $[4, 9]$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}}$

Etapa 2.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 2.2

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 2.3

Defina o denominador em $\frac{1}{\sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x} = 0$

Etapa 2.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 2.4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 2.4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 3

$f' (x)$ é contínuo em $[4, 9]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f'$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 x^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie $2 x^{\frac{1}{2}}$ em $9$ e em $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.3.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.4

Avalie o expoente.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.2.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Etapa 8.2.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.8.1

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Etapa 8.2.8.2

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

Etapa 8.2.9

Avalie o expoente.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

Etapa 8.2.10

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 4)$

Etapa 8.2.11

Subtraia $4$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2)$

Etapa 9

Subtraia $4$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 2$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{5}$ e $2$ .

$A (x) = \frac{2}{5}$

Etapa 11