Cálculo Exemplos

$y = x^{3}$ , $[0, 5]$

Etapa 1

Escreva $y = x^{3}$ como uma função.

$f (x) = x^{3}$

Etapa 2

Encontre a derivada de $f (x) = x^{3}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

$f' (x)$ é contínuo em $[0, 5]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 5

O valor médio da função $f'$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 6

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 3 x^{2} d x)$

Etapa 7

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 \int_{0}^{5} x^{2} d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}))$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}))$

Etapa 9.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $5$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 9.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}))$

Etapa 9.2.2.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 9.2.2.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Etapa 9.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 9.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 9.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}))$

Etapa 9.2.2.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - 0))$

Etapa 9.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} + 0))$

Etapa 9.2.2.5

Some $\frac{125}{3}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3}))$

Etapa 9.2.2.6

Combine $3$ e $\frac{125}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

Etapa 9.2.2.7

Multiplique $3$ por $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{375}{3})$

Etapa 9.2.2.8

Cancele o fator comum de $375$ e $3$ .

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Etapa 9.2.2.8.1

Fatore $3$ de $375$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

Etapa 9.2.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 (1)})$

Etapa 9.2.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 \cdot 1})$

Etapa 9.2.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{125}{1})$

Etapa 9.2.2.8.2.4

Divida $125$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (125)$

Etapa 10

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 125$

Etapa 10.2

Some $5$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 125$

Etapa 11

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 11.1

Fatore $5$ de $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 (25))$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 25)$

Etapa 11.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 25$

Etapa 12