Cálculo Exemplos

$y = 4 - x^{2}$ , $[- 2, 2]$

Etapa 1

Verifique se $f (x) = 4 - x^{2}$ é contínua.

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Etapa 1.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 1.2

$f (x)$ é contínuo em $[- 2, 2]$ .

A função é contínua.

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 4 - x^{2}$ é diferenciável.

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Etapa 2.1

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 2.1.1.3

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Etapa 2.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x$ .

$- 2 x$

Etapa 2.2

Determine se a derivada é contínua em $[- 2, 2]$ .

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Etapa 2.2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2.2

$f' (x)$ é contínuo em $[- 2, 2]$ .

A função é contínua.

Etapa 2.3

A função é diferenciável em $[- 2, 2]$ , porque a derivada é contínua em $[- 2, 2]$ .

A função é diferenciável.

Etapa 3

Para garantir o comprimento do arco, a função e sua derivada devem ser contínuas no intervalo fechado $[- 2, 2]$ .

A função e sua derivada são contínuas no intervalo fechado $[- 2, 2]$ .

Etapa 4

Encontre a derivada de $f (x) = 4 - x^{2}$ .

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Etapa 4.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 4.3

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Etapa 5

Para encontrar o comprimento do arco de uma função, use a fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + {(- 2 x)}^{2}} d x$

Etapa 6

Avalie a integral.

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Etapa 6.1

Deixe $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ é positivo.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.2

Simplifique os termos.

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Etapa 6.2.1

Simplifique $\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.2.1.2

Reorganize os termos.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.2.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.2.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Combine $\sec (t)$ e $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.2.2.1

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Etapa 6.2.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 6.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec^{3} (t) d t$

Etapa 6.4

Aplique a fórmula da redução.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) d t)$

Etapa 6.5

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766})$

Etapa 6.6

Simplifique.

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Etapa 6.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Etapa 6.6.2

Para escrever $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Etapa 6.6.3

Combine $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

Etapa 6.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

Etapa 6.6.5

Mova $2$ para a esquerda de $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

Etapa 6.6.6

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.6.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

Etapa 6.7

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.7.1

Avalie $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ em $1.32581766$ e em $- 1.32581766$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

Etapa 6.7.2

Avalie $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ em $1.32581766$ e em $- 1.32581766$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + (\ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |)) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

Etapa 6.7.3

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

Etapa 6.8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9

Simplifique.

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Etapa 6.9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.9.1.1

Avalie $\tan (- 1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9.1.2

Avalie $\sec (- 1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \cdot 4.12310562}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9.2

Multiplique $- 4$ por $4.12310562$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 16.4924225}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9.3

Divida $- 16.4924225$ por $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - - 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9.4

Multiplique $- 1$ por $- 8.24621125$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.9.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.9.5.1.1

Avalie $\tan (1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{4 \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9.5.1.2

Avalie $\sec (1.32581766)$ .

$\frac{2 (\frac{4 \cdot 4.12310562}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9.5.2

Multiplique $4$ por $4.12310562$ .

$\frac{2 (\frac{16.4924225}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9.5.3

Divida $16.4924225$ por $2$ .

$\frac{2 (8.24621125 + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9.6

Some $8.24621125$ e $8.24621125$ .

$\frac{2 \cdot 16.4924225 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9.7

Multiplique $2$ por $16.4924225$ .

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9.8

$\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)$ é aproximadamente $8.12310562$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

Etapa 6.9.9

$\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)$ é aproximadamente $0.12310562$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

Forma decimal:

$9.29356752 \dots$

Etapa 8