Cálculo Exemplos

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ , $[0, 4]$

Etapa 1

Verifique se $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ é contínua.

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Etapa 1.1

Para saber se a função é contínua em $[0, 4]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

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Etapa 1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{4}{5} \sqrt[4]{x^{5}}$

Etapa 1.1.2

Defina o radicando em $\sqrt[4]{x^{5}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{5} \geq 0$

Etapa 1.1.3

Resolva $x$ .

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Etapa 1.1.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{0}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique a equação.

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Etapa 1.1.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \geq \sqrt[5]{0}$

Etapa 1.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.2.2.1

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

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Etapa 1.1.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x \geq \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 1.1.3.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \geq 0$

Etapa 1.1.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 1.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 4]$ .

A função é contínua.

Etapa 2

Verifique se $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ é diferenciável.

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Etapa 2.1

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Combine $\frac{4}{5}$ e $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Etapa 2.1.1.2

Como $\frac{4}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Etapa 2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Etapa 2.1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Etapa 2.1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 2.1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 2.1.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Etapa 2.1.1.7.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Etapa 2.1.1.8

Combine $\frac{5}{4}$ e $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 2.1.1.9

Multiplique $\frac{4}{5}$ por $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Etapa 2.1.1.10

Multiplique.

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Etapa 2.1.1.10.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Etapa 2.1.1.10.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Etapa 2.1.1.11

Cancele o fator comum.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Etapa 2.1.1.12

Divida $x^{\frac{1}{4}}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 2.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 2.2

Determine se a derivada é contínua em $[0, 4]$ .

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Etapa 2.2.1

Para saber se a função é contínua em $[0, 4]$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\sqrt[4]{x^{1}}$

Etapa 2.2.1.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\sqrt[4]{x}$

Etapa 2.2.1.2

Defina o radicando em $\sqrt[4]{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 2.2.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 2.2.2

$f' (x)$ é contínuo em $[0, 4]$ .

A função é contínua.

Etapa 2.3

A função é diferenciável em $[0, 4]$ , porque a derivada é contínua em $[0, 4]$ .

A função é diferenciável.

Etapa 3

Para garantir o comprimento do arco, a função e sua derivada devem ser contínuas no intervalo fechado $[0, 4]$ .

A função e sua derivada são contínuas no intervalo fechado $[0, 4]$ .

Etapa 4

Encontre a derivada de $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

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Etapa 4.1

Combine $\frac{4}{5}$ e $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Etapa 4.2

Como $\frac{4}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Etapa 4.7.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Etapa 4.8

Combine $\frac{5}{4}$ e $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 4.9

Multiplique $\frac{4}{5}$ por $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Etapa 4.10

Multiplique.

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Etapa 4.10.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Etapa 4.10.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Etapa 4.11

Cancele o fator comum.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Etapa 4.12

Divida $x^{\frac{1}{4}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 5

Para encontrar o comprimento do arco de uma função, use a fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}} d x$

Etapa 6