Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $0 < x < 6$

Etapa 1

Verifique se $f (x) = x^{2} + 2 x$ é contínua.

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Etapa 1.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 1.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 6]$ .

A função é contínua.

Etapa 2

Verifique se $f (x) = x^{2} + 2 x$ é diferenciável.

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Etapa 2.1

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Etapa 2.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Etapa 2.2

Determine se a derivada é contínua em $[0, 6]$ .

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Etapa 2.2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2.2

$f' (x)$ é contínuo em $[0, 6]$ .

A função é contínua.

Etapa 2.3

A função é diferenciável em $[0, 6]$ , porque a derivada é contínua em $[0, 6]$ .

A função é diferenciável.

Etapa 3

Para garantir o comprimento do arco, a função e sua derivada devem ser contínuas no intervalo fechado $[0, 6]$ .

A função e sua derivada são contínuas no intervalo fechado $[0, 6]$ .

Etapa 4

Encontre a derivada de $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 4.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x + 2$

Etapa 5

Para encontrar o comprimento do arco de uma função, use a fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{6} \sqrt{1 + {(2 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 6

Avalie a integral.

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Etapa 6.1

Complete o quadrado.

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Etapa 6.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 5$

Etapa 6.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 6.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 6.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.1.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 6.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Etapa 6.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 6.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{4}$

Etapa 6.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4}{4}$

Etapa 6.1.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 6.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 6.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 6.1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.4.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$e = 5 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Etapa 6.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 5 - \frac{64}{16}$

Etapa 6.1.4.2.1.3

Divida $64$ por $16$ .

$e = 5 - 1 \cdot 4$

Etapa 6.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 5 - 4$

Etapa 6.1.4.2.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$e = 1$

Etapa 6.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(x + 1)}^{2} + 1$ .

$\int_{0}^{6} \sqrt{4 {(x + 1)}^{2} + 1} d x$

Etapa 6.2

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 6.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 6.2.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 6.2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Etapa 6.2.5

Some $6$ e $1$ .

$u_{upper} = 7$

Etapa 6.2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

Etapa 6.2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{7} \sqrt{4 u^{2} + 1} d u$

Etapa 6.3

Deixe $u = \frac{1}{2} \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ é positivo.

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.4

Simplifique os termos.

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Etapa 6.4.1

Simplifique $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

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Etapa 6.4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.4.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.4.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.4.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.4.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.4.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.4.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.4.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.4.2

Simplifique.

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Etapa 6.4.2.1

Combine $\sec (t)$ e $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.4.2.2

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.2.2.1

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ .

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Etapa 6.4.2.2.1.1

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 6.4.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Etapa 6.4.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 6.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.49948886} \sec^{3} (t) d t$

Etapa 6.6

Aplique a fórmula da redução.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} + \frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.49948886} \sec (t) d t)$

Etapa 6.7

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886})$

Etapa 6.8

Simplifique.

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Etapa 6.8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2})$

Etapa 6.8.2

Para escrever $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2})$

Etapa 6.8.3

Combine $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2})$

Etapa 6.8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2}$

Etapa 6.8.5

Mova $2$ para a esquerda de $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2}$

Etapa 6.8.6

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.8.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{4}$

Etapa 6.9

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.9.1

Avalie $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ em $1.49948886$ e em $1.10714871$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{4}$

Etapa 6.9.2

Avalie $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ em $1.49948886$ e em $1.10714871$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + (\ln (| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |)) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

Etapa 6.9.3

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

Etapa 6.10

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11

Simplifique.

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Etapa 6.11.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.11.1.1

Avalie $\tan (1.10714871)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{2 \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11.1.2

Avalie $\sec (1.10714871)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{2 \cdot 2.23606797}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11.2

Multiplique $2$ por $2.23606797$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{4.47213595}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11.3

Divida $4.47213595$ por $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - 1 \cdot 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11.4

Multiplique $- 1$ por $2.23606797$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.11.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.11.5.1.1

Avalie $\tan (1.49948886)$ .

$\frac{2 (\frac{14 \sec (1.49948886)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11.5.1.2

Avalie $\sec (1.49948886)$ .

$\frac{2 (\frac{14 \cdot 14.03566884}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11.5.2

Multiplique $14$ por $14.03566884$ .

$\frac{2 (\frac{196.49936386}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11.5.3

Divida $196.49936386$ por $2$ .

$\frac{2 (98.24968193 - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11.6

Subtraia $2.23606797$ de $98.24968193$ .

$\frac{2 \cdot 96.01361395 + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11.7

Multiplique $2$ por $96.01361395$ .

$\frac{192.02722791 + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11.8

$\sec (1.49948886) + \tan (1.49948886)$ é aproximadamente $28.03566884$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{192.02722791 + \ln (\frac{\sec (1.49948886) + \tan (1.49948886)}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Etapa 6.11.9

$\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)$ é aproximadamente $4.23606797$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{192.02722791 + \ln (\frac{\sec (1.49948886) + \tan (1.49948886)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{192.02722791 + \ln (\frac{\sec (1.49948886) + \tan (1.49948886)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

Forma decimal:

$48.47926750 \dots$

Etapa 8