Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{5} 3000 e^{- 0.05 x} d x$

Etapa 1

Como $3000$ é constante com relação a $x$ , mova $3000$ para fora da integral.

$3000 \int_{0}^{5} e^{- 0.05 x} d x$

Etapa 2

Deixe $u = - 0.05 x$ . Depois, $d u = - 0.05 d x$ , então, $\frac{1}{- 0.05} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = - 0.05 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $- 0.05 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.05 x]$

Etapa 2.1.2

Como $- 0.05$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 0.05 x$ em relação a $x$ é $- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 0.05 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $- 0.05$ por $1$ .

$- 0.05$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - 0.05 x$ .

$u_{lower} = - 0.05 \cdot 0$

Etapa 2.3

Multiplique $- 0.05$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - 0.05 x$ .

$u_{upper} = - 0.05 \cdot 5$

Etapa 2.5

Multiplique $- 0.05$ por $5$ .

$u_{upper} = - 0.25$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.25$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} \frac{1}{- 0.05} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} (- \frac{1}{0.05}) d u$

Etapa 3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{0.05}$ .

$3000 \int_{0}^{- 0.25} - \frac{e^{u}}{0.05} d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3000 (- \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $3000$ .

$- 3000 \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{0.05}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.05}$ para fora da integral.

$- 3000 (\frac{1}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{0.05}$ e $- 3000$ .

$\frac{- 3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

Etapa 7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{3000}{0.05} e^{u}]_{0}^{- 0.25}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $e^{u}$ em $- 0.25$ e em $0$ .

$- \frac{3000}{0.05} ((e^{- 0.25}) - e^{0})$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1 \cdot 1)$

Etapa 9.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Divida $3000$ por $0.05$ .

$- 1 \cdot 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

Etapa 10.2

Multiplique $- 1$ por $60000$ .

$- 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

Etapa 10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 60000 e^{- 0.25} - 60000 \cdot - 1$

Etapa 10.4

Multiplique $- 60000$ por $- 1$ .

$- 60000 e^{- 0.25} + 60000$

Etapa 10.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 60000 \frac{1}{e^{0.25}} + 60000$

Etapa 10.5.2

Combine $- 60000$ e $\frac{1}{e^{0.25}}$ .

$\frac{- 60000}{e^{0.25}} + 60000$

Etapa 10.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

Forma decimal:

$13271.95301571 \dots$

Etapa 12