Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - (x + h)}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{x + h}{6 - x - h}$ .

$\frac{x + h}{6 - x - h}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h}{6 - x - h} - (\frac{x}{6 - x})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{x + h}{6 - x - h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{x}{6 - x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ .

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(6 - x - h) (6 - x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{x + h}{6 - x - h}$ por $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{x}{6 - x}$ por $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(6 - x - h) (6 - x)$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x) (6 - x - h)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.1

Expanda $(x + h) (6 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{x (6 - x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.2.1

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\frac{6 \cdot x + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{6 x - x \cdot x + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.2.3.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{6 x - (x \cdot x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.4

Mova $6$ para a esquerda de $h$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 \cdot h + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x \cdot 6 - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.4.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.5.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.5.1.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Subtraia $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + 0 + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\frac{6 h - h x + 0 + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Some $6 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{- h x + 6 h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Some $- h x$ e $x h$ .

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Etapa 4.1.5.10.1

Mova $h$ .

$\frac{\frac{6 h - x h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10.2

Some $- x h$ e $x h$ .

$\frac{\frac{6 h + 0}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11

Some $6 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $h$ de $6 h$ .

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{(6 - x) (6 - x - h)}$

Etapa 5