Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 4}}{6 x + 1}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}{\frac{6 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.2.2

Divida $9$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}}}{6 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.7

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{6 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{6 + 0}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{6 + 0}$

Etapa 6.1.2

Some $9$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{9}}{6 + 0}$

Etapa 6.1.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{6 + 0}$

Etapa 6.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3}{6 + 0}$

Etapa 6.2

Some $6$ e $0$ .

$\frac{3}{6}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

Etapa 6.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$