Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} y {(y^{2} + 1)}^{5} d y$

Etapa 1

Deixe $u = y^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = y^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 y + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = y^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = y^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} u^{5} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $u^{5}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{5}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{5} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{5}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{2}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{1}{6} u^{6}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 2^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{6}$ e $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $64$ e $6$ .

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Etapa 5.2.3.1

Fatore $2$ de $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Etapa 5.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Etapa 5.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6})$

Etapa 5.2.6

Para escrever $\frac{32}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

Etapa 5.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.2.7.1

Multiplique $\frac{32}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

Etapa 5.2.7.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6})$

Etapa 5.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{6}$

Etapa 5.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.9.1

Multiplique $32$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{6}$

Etapa 5.2.9.2

Subtraia $1$ de $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{6}$

Etapa 5.2.10

Cancele o fator comum de $63$ e $6$ .

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Etapa 5.2.10.1

Fatore $3$ de $63$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (21)}{6}$

Etapa 5.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.10.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Etapa 5.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Etapa 5.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2}$

Etapa 5.2.11

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{21}{2}$ .

$\frac{21}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.2.12

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{21}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{21}{4}$

Forma decimal:

$5.25$

Forma de número misto:

$5 \frac{1}{4}$

Etapa 7