Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} 35 x^{4} e^{x^{5}} d x$

Etapa 1

Como $35$ é constante com relação a $x$ , mova $35$ para fora da integral.

$35 \int_{0}^{1} x^{4} e^{x^{5}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{2} = e^{x^{5}}$ . Depois, $d u_{2} = 5 x^{4} e^{x^{5}} d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{2} = x^{4} e^{x^{5}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{5}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $e^{x^{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{5}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{5}$ .

$e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$e^{x^{5}} (5 x^{4})$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{5}} (5 x^{4})$ .

$5 e^{x^{5}} x^{4}$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os fatores em $5 e^{x^{5}} x^{4}$ .

$5 x^{4} e^{x^{5}}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = e^{x^{5}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{5}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Etapa 2.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = e^{x^{5}}$ .

$u_{upper} = e^{1^{5}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = e^{1}$

Etapa 2.5.2

Simplifique.

$u_{upper} = e$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$35 \int_{1}^{e} \frac{1}{5} d u_{2}$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$35 (\frac{1}{5} u_{2}]_{1}^{e})$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $u_{2}$ .

$35 (\frac{u_{2}}{5}]_{1}^{e})$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{u_{2}}{5}$ em $e$ e em $1$ .

$35 (\frac{e}{5} - \frac{1}{5})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$35 \frac{e}{5} + 35 (- \frac{1}{5})$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $5$ de $35$ .

$5 (7) \frac{e}{5} + 35 (- \frac{1}{5})$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum.

$5 \cdot 7 \frac{e}{5} + 35 (- \frac{1}{5})$

Etapa 5.2.3

Reescreva a expressão.

$7 e + 35 (- \frac{1}{5})$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{5}$ para o numerador.

$7 e + 35 (\frac{- 1}{5})$

Etapa 5.3.2

Fatore $5$ de $35$ .

$7 e + 5 (7) \frac{- 1}{5}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum.

$7 e + 5 \cdot 7 \frac{- 1}{5}$

Etapa 5.3.4

Reescreva a expressão.

$7 e + 7 \cdot - 1$

Etapa 5.4

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$7 e - 7$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$7 e - 7$

Forma decimal:

$12.02797279 \dots$

Etapa 7