Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} \frac{2 t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{2} \frac{t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Etapa 2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$

Etapa 2.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de ${(t - 3)}^{2}$ .

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Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Etapa 2.1.4.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Etapa 2.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.5.1

Cancele o fator comum de ${(t - 3)}^{2}$ .

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Etapa 2.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$t = \frac{A {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Etapa 2.1.5.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$t = A + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Etapa 2.1.5.2

Cancele o fator comum de ${(t - 3)}^{2}$ e $t - 3$ .

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Etapa 2.1.5.2.1

Fatore $t - 3$ de $(B) {(t - 3)}^{2}$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{t - 3}$

Etapa 2.1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.5.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Etapa 2.1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Etapa 2.1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$t = A + \frac{B (t - 3)}{1}$

Etapa 2.1.5.2.2.4

Divida $B (t - 3)$ por $1$ .

$t = A + B (t - 3)$

Etapa 2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$t = A + B t + B \cdot - 3$

Etapa 2.1.5.4

Mova $- 3$ para a esquerda de $B$ .

$t = A + B t - 3 B$

Etapa 2.1.6

Reordene $A$ e $B t$ .

$t = B t + A - 3 B$

Etapa 2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $t$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = B$

Etapa 2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $t$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A - 3 B$

Etapa 2.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

Etapa 2.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $B = 1$ .

$B = 1$

$0 = A - 3 B$

Etapa 2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 2.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = A - 3 B$ por $1$ .

$0 = A - 3 \cdot 1$

$B = 1$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.2.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

Etapa 2.3.3

Resolva $A$ em $0 = A - 3$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva a equação como $A - 3 = 0$ .

$A - 3 = 0$

$B = 1$

Etapa 2.3.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

Etapa 2.3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = 3 B = 1$

Etapa 2.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 3, B = 1$

Etapa 2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3}$

Etapa 2.5

Remova o zero da expressão.

$2 \int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3} d t$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 4

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$2 (3 \int_{0}^{2} \frac{1}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = t - 3$ . Depois, $d u_{1} = d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = t - 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 5.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3$ em relação a $t$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{1} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Etapa 5.3

Subtraia $3$ de $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{1} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Etapa 5.5

Subtraia $3$ de $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 8

Deixe $u_{2} = t - 3$ . Depois, $d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{2} = t - 3$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 8.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3$ em relação a $t$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Etapa 8.3

Subtraia $3$ de $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Etapa 8.5

Subtraia $3$ de $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $- {u_{1}}^{- 1}$ em $- 1$ e em $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Etapa 10.2

Avalie $\ln (| u_{2} |)$ em $- 1$ e em $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$2 (3 (- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (3 (- - 1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 (3 (1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (1 + \frac{1}{- 3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (3 (1 - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 (3 (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (3 \frac{3 - 1}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.9

Subtraia $1$ de $3$ .

$2 (3 (\frac{2}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.10

Combine $3$ e $\frac{2}{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.11

Multiplique $3$ por $2$ .

$2 (\frac{6}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.12

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 10.3.12.1

Fatore $3$ de $6$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.3.12.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{2}{1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.12.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 (2 + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

$2 (2 + \ln (| - 1 |) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 11

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (2 + \ln (\frac{| - 1 |}{| - 3 |}))$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{| - 3 |}))$

Etapa 12.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 3$ e $0$ é $3$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{3}))$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Etapa 12.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Forma decimal:

$1.80277542 \dots$

Etapa 14