Cálculo Exemplos

\int_{0}^{2} \frac{2 t}{{(t - 3)}^{2}} d t

$\int_{0}^{2} \frac{2 t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Etapa 1

Como

2

$2$ é constante com relação a

t

$t$ , mova

2

$2$ para fora da integral.

2 \int_{0}^{2} \frac{t}{{(t - 3)}^{2}} d t

$2 \int_{0}^{2} \frac{t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Etapa 2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar

A

$A$ .

\frac{A}{{(t - 3)}^{2}}

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

B

$B$ .

\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$

Etapa 2.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é

{(t - 3)}^{2}

${(t - 3)}^{2}$ .

\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de

{(t - 3)}^{2}

${(t - 3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Etapa 2.1.4.2

Divida

$t$ por

$1$ .

$t = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Etapa 2.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Cancele o fator comum de

${(t - 3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$t = \frac{A {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Etapa 2.1.5.1.2

Divida

$A$ por

$1$ .

$t = A + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Etapa 2.1.5.2

Cancele o fator comum de

${(t - 3)}^{2}$ e

$t - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.2.1

Fatore

$t - 3$ de

$(B) {(t - 3)}^{2}$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{t - 3}$

Etapa 2.1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.2.2.1

Multiplique por

$1$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Etapa 2.1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Etapa 2.1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$t = A + \frac{B (t - 3)}{1}$

Etapa 2.1.5.2.2.4

Divida

$B (t - 3)$ por

$1$ .

$t = A + B (t - 3)$

Etapa 2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$t = A + B t + B \cdot - 3$

Etapa 2.1.5.4

Mova

$- 3$ para a esquerda de

$B$ .

$t = A + B t - 3 B$

Etapa 2.1.6

Reordene

$A$ e

$B t$ .

$t = B t + A - 3 B$

Etapa 2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de

$t$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = B$

Etapa 2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm

$t$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A - 3 B$

Etapa 2.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

Etapa 2.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como

$B = 1$ .

$B = 1$

$0 = A - 3 B$

Etapa 2.3.2

Substitua todas as ocorrências de

$B$ por

$1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de

$B$ em

$0 = A - 3 B$ por

$1$ .

$0 = A - 3 \cdot 1$

$B = 1$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Multiplique

$- 3$ por

$1$ .

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

Etapa 2.3.3

Resolva

$A$ em

$0 = A - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva a equação como

$A - 3 = 0$ .

$A - 3 = 0$

$B = 1$

Etapa 2.3.3.2

Some

$3$ aos dois lados da equação.

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

Etapa 2.3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = 3 B = 1$

Etapa 2.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 3, B = 1$

Etapa 2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$ pelos valores encontrados para

$A$ e

$B$ .

$\frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3}$

Etapa 2.5

Remova o zero da expressão.

$2 \int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3} d t$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 4

Como

$3$ é constante com relação a

$t$ , mova

$3$ para fora da integral.

$2 (3 \int_{0}^{2} \frac{1}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 5

Deixe

$u_{1} = t - 3$ . Depois,

$d u_{1} = d t$ . Reescreva usando

$u_{1}$ e

$d$

$u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Deixe

$u_{1} = t - 3$ . Encontre

$\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie

$t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$t - 3$ com relação a

$t$ é

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é

$n t^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 5.1.4

Como

$- 3$ é constante em relação a

$t$ , a derivada de

$- 3$ em relação a

$t$ é

$0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some

$1$ e

$0$ .

$1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por

$t$ em

$u_{1} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Etapa 5.3

Subtraia

$3$ de

$0$ .

$u_{lower} = - 3$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por

$t$ em

$u_{1} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Etapa 5.5

Subtraia

$3$ de

$2$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para

$u_{lower}$ e

$u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando

$u_{1}$ ,

$d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Mova

${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à

$- 1$ potência.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 6.2.2

Multiplique

$2$ por

$- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

${u_{1}}^{- 2}$ com relação a

$u_{1}$ é

$- {u_{1}}^{- 1}$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Etapa 8

Deixe

$u_{2} = t - 3$ . Depois,

$d u_{2} = d t$ . Reescreva usando

$u_{2}$ e

$d$

$u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Deixe

$u_{2} = t - 3$ . Encontre

$\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Diferencie

$t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$t - 3$ com relação a

$t$ é

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é

$n t^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 8.1.4

Como

$- 3$ é constante em relação a

$t$ , a derivada de

$- 3$ em relação a

$t$ é

$0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some

$1$ e

$0$ .

$1$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por

$t$ em

$u_{2} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Etapa 8.3

Subtraia

$3$ de

$0$ .

$u_{lower} = - 3$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por

$t$ em

$u_{2} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Etapa 8.5

Subtraia

$3$ de

$2$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para

$u_{lower}$ e

$u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando

$u_{2}$ ,

$d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 9

A integral de

$\frac{1}{u_{2}}$ com relação a

$u_{2}$ é

$\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Avalie

$- {u_{1}}^{- 1}$ em

$- 1$ e em

$- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Etapa 10.2

Avalie

$\ln (| u_{2} |)$ em

$- 1$ e em

$- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.2

Mova o número negativo do denominador de

$\frac{1}{- 1}$ .

$2 (3 (- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.3

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$2 (3 (- - 1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.4

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$2 (3 (1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (1 + \frac{1}{- 3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (3 (1 - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.7

Escreva

$1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 (3 (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (3 \frac{3 - 1}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.9

Subtraia

$1$ de

$3$ .

$2 (3 (\frac{2}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.10

Combine

$3$ e

$\frac{2}{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.11

Multiplique

$3$ por

$2$ .

$2 (\frac{6}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.12

Cancele o fator comum de

$6$ e

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.12.1

Fatore

$3$ de

$6$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.12.2.1

Fatore

$3$ de

$3$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{2}{1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 10.3.12.2.4

Divida

$2$ por

$1$ .

$2 (2 + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

$2 (2 + \ln (| - 1 |) - \ln (| - 3 |))$

Etapa 11

Use a propriedade dos logaritmos do quociente,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (2 + \ln (\frac{| - 1 |}{| - 3 |}))$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$- 1$ e

$0$ é

$1$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{| - 3 |}))$

Etapa 12.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$- 3$ e

$0$ é

$3$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{3}))$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Etapa 12.3

Multiplique

$2$ por

$2$ .

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Forma decimal:

$1.80277542 \dots$

Etapa 14