Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{8} \frac{8}{3 x^{5}} d x$

Etapa 1

Como $\frac{8}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{8}{3}$ para fora da integral.

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} \frac{1}{x^{5}} d x$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $x^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} {(x^{5})}^{- 1} d x$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{5 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{- 5} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 5}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{4} x^{- 4}]_{1}^{8}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ em $8$ e em $1$ .

$\frac{8}{3} ((- \frac{1}{4} \cdot 8^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{4}} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Etapa 4.2.2

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4096} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Etapa 4.2.3

Multiplique $\frac{1}{4096}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4096 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Etapa 4.2.4

Multiplique $4096$ por $4$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Etapa 4.2.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1)$

Etapa 4.2.6

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4})$

Etapa 4.2.7

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4096}{4096}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4096}{4096})$

Etapa 4.2.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16384$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.2.8.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{4096}{4096}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{4 \cdot 4096})$

Etapa 4.2.8.2

Multiplique $4$ por $4096$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{16384})$

Etapa 4.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{- 1 + 4096}{16384}$

Etapa 4.2.10

Some $- 1$ e $4096$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{4095}{16384}$

Etapa 4.2.11

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{4095}{16384}$ .

$\frac{8 \cdot 4095}{3 \cdot 16384}$

Etapa 4.2.12

Multiplique $8$ por $4095$ .

$\frac{32760}{3 \cdot 16384}$

Etapa 4.2.13

Multiplique $3$ por $16384$ .

$\frac{32760}{49152}$

Etapa 4.2.14

Cancele o fator comum de $32760$ e $49152$ .

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Etapa 4.2.14.1

Fatore $24$ de $32760$ .

$\frac{24 (1365)}{49152}$

Etapa 4.2.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.14.2.1

Fatore $24$ de $49152$ .

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

Etapa 4.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

Etapa 4.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1365}{2048}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1365}{2048}$

Forma decimal:

$0.66650390 \dots$

Etapa 6