Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} \sqrt{16 x^{5}} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva $16 x^{5}$ como ${(4 x^{2})}^{2} x$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} x^{5}} d x$

Etapa 1.1.2

Fatore $x^{4}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} (x^{4} x)} d x$

Etapa 1.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} ({(x^{2})}^{2} x)} d x$

Etapa 1.1.4

Reescreva $4^{2} {(x^{2})}^{2}$ como ${(4 x^{2})}^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{{(4 x^{2})}^{2} x} d x$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} \sqrt{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

Etapa 2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

Etapa 2.2.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Etapa 2.2.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

Etapa 2.2.6.2

Some $1$ e $4$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{5}{2}} d x$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{5}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}]_{1}^{4})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{2}{7}$ e $x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}]_{1}^{4})$

Etapa 5.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Avalie $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$ em $4$ e em $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{7}{2}}}{7}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Etapa 5.2.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Etapa 5.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Etapa 5.2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Etapa 5.2.2.4

Eleve $2$ à potência de $7$ .

$4 (\frac{2 \cdot 128}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Etapa 5.2.2.5

Multiplique $2$ por $128$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Etapa 5.2.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1}{7})$

Etapa 5.2.2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2}{7})$

Etapa 5.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{256 - 2}{7}$

Etapa 5.2.2.9

Subtraia $2$ de $256$ .

$4 (\frac{254}{7})$

Etapa 5.2.2.10

Combine $4$ e $\frac{254}{7}$ .

$\frac{4 \cdot 254}{7}$

Etapa 5.2.2.11

Multiplique $4$ por $254$ .

$\frac{1016}{7}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1016}{7}$

Forma decimal:

$145.14285714 \dots$

Forma de número misto:

$145 \frac{1}{7}$

Etapa 7