Cálculo Exemplos

$\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 6 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 6 (2 x)$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} + 12 x$ .

$6 x^{2} + 12 x$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} + 12 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} + 12 x = 0$

Etapa 3.2

Fatore $6 x$ de $6 x^{2} + 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $6 x$ de $6 x^{2}$ .

$6 x (x) + 12 x = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $6 x$ de $12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $6 x$ de $6 x (x) + 6 x (2)$ .

$6 x (x + 2) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 x (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $- 2$ em $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f (- 2) = 8 - 16$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $16$ de $8$ .

$f (- 2) = - 8$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $- 8$ .

$- 8$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 2$ em $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ é $(- 2, - 8)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2, - 8)$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (- 2, - 8)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.1$ na expressão.

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $6$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $12$ por $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

Etapa 6.2.2

Subtraia $25.2$ de $26.46$ .

$f'' (- 2.1) = 1.26$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $1.26$ .

$1.26$

Etapa 6.3

Em $- 2.1$ , a segunda derivada é $1.26$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 - 12$

Etapa 7.2.2

Subtraia $12$ de $6$ .

$f'' (- 1) = - 6$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 7.3

Em $- 1$ , a segunda derivada é $- 6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 2, 0)$ .

Decréscimo em $(- 2, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $6$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $12$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

Etapa 8.2.2

Some $0.06$ e $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.26$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $1.26$ .

$1.26$

Etapa 8.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $1.26$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

Etapa 10