Cálculo Exemplos

$y = e^{a x} \sin (b x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} (e^{a x} \sin (b x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $b$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $e^{a x}$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $e^{a x} \sin (b x)$ em relação a $b$ é $e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$ .

$e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ é $f' (g (b)) g' (b)$ , em que $f (b) = \sin (b)$ e $g (b) = b x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $b x$ .

$e^{a x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d b} [b x])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$e^{a x} (\cos (u) \frac{d}{d b} [b x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $b x$ .

$e^{a x} (\cos (b x) \frac{d}{d b} [b x])$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $x$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $b x$ em relação a $b$ é $x \frac{d}{d b} [b]$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (x \frac{d}{d b} [b]))$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ é $n b^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (x \cdot 1))$

Etapa 3.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) x)$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reordene os fatores de $e^{a x} (\cos (b x) x)$ .

$e^{a x} x \cos (b x)$

Etapa 3.4.2

Reordene os fatores em $e^{a x} x \cos (b x)$ .

$x e^{a x} \cos (b x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x e^{a x} \cos (b x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d b}$ .

$\frac{d y}{d b} = x e^{a x} \cos (b x)$