Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) \sin (\sin (2 x)) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1})}{2} \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ e $\sin (\sin (u_{1}))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1}))}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , então, $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Etapa 4.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 4.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 5

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u_{2})]_{0}^{1}$

Etapa 6

Avalie $- \cos (u_{2})$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + \cos (0))$

Etapa 7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + 1)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\cos (1)$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

Etapa 8.2

Multiplique $- 1$ por $0.5403023$ .

$\frac{1}{2} (- 0.5403023 + 1)$

Etapa 8.3

Some $- 0.5403023$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0.45969769$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $0.45969769$ .

$\frac{0.45969769}{2}$

Etapa 8.5

Divida $0.45969769$ por $2$ .

$0.22984884$