Cálculo Exemplos

$e^{4 x} + e^{- x}$

Etapa 1

Escreva $e^{4 x} + e^{- x}$ como uma função.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{4 x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.2.5

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 2.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 2.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 e^{4 x} - e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 e^{4 x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 3.2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 3.2.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 3.2.6

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 3.2.7

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 3.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 3.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 3.3.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

Etapa 3.3.9

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{4 x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 5.1.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 5.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 5.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 5.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 5.1.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 5.1.2.5

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 5.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 5.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 5.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 5.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 5.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 5.1.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 5.1.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Etapa 6.2

Mova $- e^{- x}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

Etapa 6.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Etapa 6.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.1

Reescreva $\ln (4 e^{4 x})$ como $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Etapa 6.4.2

Expanda $\ln (e^{4 x})$ movendo $4 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Etapa 6.4.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Etapa 6.4.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

Etapa 6.5

Expanda o lado direito.

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Etapa 6.5.1

Expanda $\ln (e^{- x})$ movendo $- x$ para fora do logaritmo.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

Etapa 6.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

Etapa 6.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

Etapa 6.6

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.6.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

Etapa 6.6.2

Some $4 x$ e $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

Etapa 6.7

Subtraia $\ln (4)$ dos dois lados da equação.

$5 x = - \ln (4)$

Etapa 6.8

Divida cada termo em $5 x = - \ln (4)$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 6.8.1

Divida cada termo em $5 x = - \ln (4)$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Etapa 6.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.8.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 6.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Etapa 6.8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

Etapa 6.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$16 e^{4 (- \frac{\ln (4)}{5})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1

Reescreva $\frac{\ln (4)}{5}$ como $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$16 e^{4 (- (\frac{1}{5} \ln (4)))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.2

Simplifique $\frac{1}{5} \ln (4)$ movendo $\frac{1}{5}$ para dentro do logaritmo.

$16 e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.3

Multiplique $4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

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Etapa 10.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$16 e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.3.2

Simplifique $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$16 e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.4

Simplifique $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$16 e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$16 {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.6

Multiplique os expoentes em ${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.7

Multiplique os expoentes em ${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.7.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 4$ .

$16 \cdot 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$16 \cdot 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \cdot \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.9

Combine $16$ e $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

Etapa 10.10

Reescreva $\frac{\ln (4)}{5}$ como $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - (\frac{1}{5} \ln (4))}$

Etapa 10.11

Simplifique $\frac{1}{5} \ln (4)$ movendo $\frac{1}{5}$ para dentro do logaritmo.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Etapa 10.12

Multiplique $- - \ln (4^{\frac{1}{5}})$ .

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Etapa 10.12.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Etapa 10.12.2

Multiplique $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ por $1$ .

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Etapa 10.13

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

Etapa 11

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ .

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Etapa 12.1

Simplify $- \frac{\ln (4)}{5}$ to substitute in $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

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Etapa 12.1.1

Reescreva $\frac{\ln (4)}{5}$ como $\frac{1}{5} \ln (4)$ .

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (4))$

Etapa 12.1.2

Simplifique $\frac{1}{5} \ln (4)$ movendo $\frac{1}{5}$ para dentro do logaritmo.

$y = - \ln (4^{\frac{1}{5}})$

Etapa 12.2

Substitua a variável $x$ por $- \ln (4^{\frac{1}{5}})$ na expressão.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Etapa 12.3

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.1

Multiplique $4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Etapa 12.3.1.1.2

Simplifique $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Etapa 12.3.1.2

Simplifique $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Etapa 12.3.1.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Etapa 12.3.1.4

Multiplique os expoentes em ${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Etapa 12.3.1.4.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Etapa 12.3.1.5

Multiplique os expoentes em ${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Etapa 12.3.1.5.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 4$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Etapa 12.3.1.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Etapa 12.3.1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

Etapa 12.3.1.7

Multiplique $- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ .

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Etapa 12.3.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Etapa 12.3.1.7.2

Multiplique $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ por $1$ .

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

Etapa 12.3.1.8

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

Etapa 12.3.2

A resposta final é $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

$(- \frac{\ln (4)}{5}, \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}})$ é um mínimo local

Etapa 14