Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + e^{x}$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + e^{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{upper} = 1 + e^{1}$

Etapa 1.5

Simplifique.

$u_{upper} = 1 + e$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1 + e$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{1 + e} \frac{1}{u} d u$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{1 + e}$

Etapa 3

Avalie $\ln (| u |)$ em $1 + e$ e em $2$ .

$\ln (| 1 + e |) - \ln (| 2 |)$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + e |}{| 2 |})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

$1 + e$ é aproximadamente $3.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (\frac{1 + e}{| 2 |})$

Etapa 5.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\ln (\frac{1 + e}{2})$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (\frac{1 + e}{2})$

Forma decimal:

$0.62011450 \dots$

Etapa 7