Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sin (2 x)}{3 + \cos (2 x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = 3 + \cos (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = 3 + \cos (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 + \cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (2 x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3.1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$0 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 - \sin (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 \sin (2 x)$

Etapa 1.1.4

Subtraia $2 \sin (2 x)$ de $0$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 + \cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 + \cos (2 x) |) + C$