Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{9 + 4 \sec^{2} (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \sec (x)$ . Depois, $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{9 + 4 u^{2}} d u$

Etapa 2

Fatore $4$ de $9 + 4 u^{2}$ .

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Etapa 2.1

Fatore $4$ de $9$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 u^{2}} d u$

Etapa 2.2

Fatore $4$ de $4 u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})} d u$

Etapa 2.3

Fatore $4$ de $4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + u^{2})} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{9}{4} + u^{2}} d u$

Etapa 4

Reescreva $\frac{9}{4}$ como ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}} d u$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique.

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Etapa 6.1.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Etapa 6.1.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Etapa 6.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (u \frac{2}{3}) + C)$

Etapa 6.1.4

Combine $u$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u \cdot 2}{3}) + C)$

Etapa 6.1.5

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot u}{3}) + C)$

Etapa 6.1.6

Combine $\frac{2}{3}$ e $\arctan (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$

Etapa 6.2

Reescreva $\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Etapa 6.3.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{2}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Etapa 6.3.3

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

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Etapa 6.3.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Etapa 6.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.3.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Etapa 6.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Etapa 6.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} \sec (x)) + C$