Cálculo Exemplos

$lim_{y \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 1

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\sqrt{\frac{lim_{y \to - 3} y^{2} - 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $- 3$ .

$\sqrt{\frac{lim_{y \to - 3} y^{2} - lim_{y \to - 3} 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $y^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{\frac{{(lim_{y \to - 3} y)}^{2} - lim_{y \to - 3} 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 2.1.2.1.3

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $- 3$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{y \to - 3} y)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $- 3$ por $y$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{9 - 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $- 3$ .

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 lim_{y \to - 3} y^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Etapa 2.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $y^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Etapa 2.1.3.4

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Etapa 2.1.3.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $- 3$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + 3}}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie os limites substituindo $- 3$ por todas as ocorrências de $y$ .

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Etapa 2.1.3.6.1

Avalie o limite de $y$ substituindo $- 3$ por $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + 3}}$

Etapa 2.1.3.6.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $- 3$ por $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 + 3}}$

Etapa 2.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.7.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 \cdot 9 + 7 \cdot - 3 + 3}}$

Etapa 2.1.3.7.1.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{0}{18 + 7 \cdot - 3 + 3}}$

Etapa 2.1.3.7.1.3

Multiplique $7$ por $- 3$ .

$\sqrt{\frac{0}{18 - 21 + 3}}$

Etapa 2.1.3.7.2

Subtraia $21$ de $18$ .

$\sqrt{\frac{0}{- 3 + 3}}$

Etapa 2.1.3.7.3

Some $- 3$ e $3$ .

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Etapa 2.1.3.7.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Etapa 2.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{y \to - 3} \frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3} = lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 9$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y + \frac{d}{d y} [- 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Etapa 2.3.4

Como $- 9$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 9$ em relação a $y$ é $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y + 0}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Etapa 2.3.5

Some $2 y$ e $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y^{2} + 7 y + 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Etapa 2.3.7

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.7.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Etapa 2.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{2 \cdot 2 y + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Etapa 2.3.7.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Etapa 2.3.8

Avalie $\frac{d}{d y} [7 y]$ .

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Etapa 2.3.8.1

Como $7$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $7 y$ em relação a $y$ é $7 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Etapa 2.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]}}$

Etapa 2.3.8.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 + \frac{d}{d y} [3]}}$

Etapa 2.3.9

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3$ em relação a $y$ é $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 + 0}}$

Etapa 2.3.10

Some $4 y + 7$ e $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$\sqrt{2 lim_{y \to - 3} \frac{y}{4 y + 7}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $- 3$ .

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{lim_{y \to - 3} 4 y + 7}}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $y$ se aproxima de $- 3$ .

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{lim_{y \to - 3} 4 y + lim_{y \to - 3} 7}}$

Etapa 3.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $y$ .

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{4 lim_{y \to - 3} y + lim_{y \to - 3} 7}}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $y$ se aproxima de $- 3$ .

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{4 lim_{y \to - 3} y + 7}}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $- 3$ por todas as ocorrências de $y$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $y$ substituindo $- 3$ por $y$ .

$\sqrt{2 \frac{- 3}{4 lim_{y \to - 3} y + 7}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $y$ substituindo $- 3$ por $y$ .

$\sqrt{2 \frac{- 3}{4 \cdot - 3 + 7}}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $2$ e $\frac{- 3}{4 \cdot - 3 + 7}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{4 \cdot - 3 + 7}}$

Etapa 5.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{- 12 + 7}}$

Etapa 5.3

Some $- 12$ e $7$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{- 5}}$

Etapa 5.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\sqrt{\frac{- 6}{- 5}}$

Etapa 5.5

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sqrt{\frac{6}{5}}$

Etapa 5.6

Reescreva $\sqrt{\frac{6}{5}}$ como $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.7

Multiplique $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 5.8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 5.8.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 5.8.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 5.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.8.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 5.8.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 5.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 5.8.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 5.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.9.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 5}}{5}$

Etapa 5.9.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{30}}{5}$

Forma decimal:

$1.09544511 \dots$