Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

Etapa 1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x]$ como $\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 \sqrt{2 x} d x]$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $8 x$ como $2^{2} \cdot (2 x)$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{4 (2) x} d x]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{2^{2} \cdot 2 x} d x]$

Etapa 1.1.3

Adicione parênteses.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{2^{2} \cdot (2 x)} d x]$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 \sqrt{2 x} d x]$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 3

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 4

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x]$

Etapa 5

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 7.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Etapa 8

Quando $\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$ for avaliada, será constante com relação a $x$ . Portanto, a derivada de $\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$ com relação a $x$ será $0$ .

$0$