Cálculo Exemplos

$\int 6 e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

Etapa 1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 6 x$ . Depois, $d u_{1} = 6 d x$ , então, $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 6 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.1.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$6$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$6 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $e^{u_{1}}$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}}}{6} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Etapa 3.2

Combine $\frac{e^{u_{1}}}{6}$ e $\sin (e^{u_{1}})$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $6$ .

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Etapa 5.3

Multiplique $\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$ por $1$ .

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Depois, $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Etapa 6.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 7

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$- \cos (u_{2}) + C$

Etapa 8

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 8.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{u_{1}}$ .

$- \cos (e^{u_{1}}) + C$

Etapa 8.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 x$ .

$- \cos (e^{6 x}) + C$