Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt[4]{5 x + 1} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sqrt[4]{5 x + 1}$ .

$x (\frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{4}{25}$ e ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ .

$x \frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25}$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

Etapa 3

Como $\frac{4}{25}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{4}{25}$ para fora da integral.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - (\frac{4}{25} \int {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x)$

Etapa 4

Deixe $u = 5 x + 1$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 5 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $5$ e $0$ .

$5$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int u^{\frac{5}{4}} \frac{1}{5} d u$

Etapa 5

Combine $u^{\frac{5}{4}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{5} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} (\frac{1}{5} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{4}{25}$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{5 \cdot 25} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

Etapa 7.2

Multiplique $5$ por $25$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{5}{4}}$ com relação a $u$ é $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$ como $\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$ .

$\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Combine $\frac{4}{25}$ e $x$ .

$\frac{4 x}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

Etapa 9.2.2

Combine $\frac{4 x}{25}$ e ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

Etapa 9.2.3

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $\frac{4}{125}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

Etapa 9.2.4

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

Etapa 9.2.5

Multiplique $9$ por $125$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} + C$

Etapa 9.2.6

Para escrever $- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{25}{25}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot \frac{25}{25} + C$

Etapa 9.2.7

Combine $- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ e $\frac{25}{25}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} + \frac{- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

Etapa 9.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

Etapa 9.2.9

Combine $u^{\frac{9}{4}}$ e $\frac{16}{1125}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125} \cdot 25}{25} + C$

Etapa 9.2.10

Multiplique $25$ por $- 1$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 25 \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}}{25} + C$

Etapa 9.2.11

Combine $- 25$ e $\frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 25 (u^{\frac{9}{4}} \cdot 16)}{1125}}{25} + C$

Etapa 9.2.12

Multiplique $16$ por $- 25$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 400 u^{\frac{9}{4}}}{1125}}{25} + C$

Etapa 9.2.13

Fatore $25$ de $- 400 u^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{1125}}{25} + C$

Etapa 9.2.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.14.1

Fatore $25$ de $1125$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 (45)}}{25} + C$

Etapa 9.2.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 \cdot 45}}{25} + C$

Etapa 9.2.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Etapa 9.2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Etapa 9.2.16

Para escrever $4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{45}{45}$ .

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Etapa 9.2.17

Combine $4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ e $\frac{45}{45}$ .

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Etapa 9.2.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45 - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Etapa 9.2.19

Multiplique $45$ por $4$ .

$\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

Etapa 9.2.20

Reescreva $\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25}$ como um produto.

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45} \cdot \frac{1}{25} + C$

Etapa 9.2.21

Multiplique $\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}$ por $\frac{1}{25}$ .

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45 \cdot 25} + C$

Etapa 9.2.22

Multiplique $45$ por $25$ .

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + 1$ .

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

Etapa 11

Reordene os termos.

$\frac{1}{1125} (180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}) + C$