Cálculo Exemplos

$y = {(2 x + 1)}^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Reescreva ${(2 x + 1)}^{2}$ como $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x + 1)]$

Etapa 3.2

Expanda $(2 x + 1) (2 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)]$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)]$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1]$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1]$

Etapa 3.3.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.8

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.10

Multiplique $4$ por $1$ .

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 x + 4 + 0$

Etapa 3.12

Some $8 x + 4$ e $0$ .

$8 x + 4$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 8 x + 4$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 4$