Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{7} x \sqrt{6 x^{2} + 3} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 6 x^{2} + 3$ . Depois, $d u = 12 x d x$ , então, $\frac{1}{12} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 6 x^{2} + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $6 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 3]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $12 x$ e $0$ .

$12 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 6 x^{2} + 3$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 1^{2} + 3$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 6 \cdot 1 + 3$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$u_{lower} = 6 + 3$

Etapa 1.3.2

Some $6$ e $3$ .

$u_{lower} = 9$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 6 x^{2} + 3$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 7^{2} + 3$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 49 + 3$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $6$ por $49$ .

$u_{upper} = 294 + 3$

Etapa 1.5.2

Some $294$ e $3$ .

$u_{upper} = 297$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 297$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{9}^{297} \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{12}$ .

$\int_{9}^{297} \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{12}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{12}$ para fora da integral.

$\frac{1}{12} \int_{9}^{297} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int_{9}^{297} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{297}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $297$ e em $9$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{2}{3} \cdot 297^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $297^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Etapa 6.2.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Etapa 6.2.6

Multiplique $27$ por $- 1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Etapa 6.2.7

Combine $- 27$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Etapa 6.2.8

Multiplique $- 27$ por $2$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Etapa 6.2.9

Cancele o fator comum de $- 54$ e $3$ .

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Etapa 6.2.9.1

Fatore $3$ de $- 54$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Etapa 6.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.9.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Etapa 6.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Etapa 6.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Etapa 6.2.9.2.4

Divida $- 18$ por $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{12} \cdot - 18$

Etapa 7.2

Combine.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{12} \cdot - 18$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 7.3.1

Fatore $6$ de $12$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 (2)} \cdot - 18$

Etapa 7.3.2

Fatore $6$ de $- 18$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 3)$

Etapa 7.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 3)$

Etapa 7.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Etapa 7.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 7.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.5.1

Fatore $2$ de $1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{12 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 7.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.5.2.1

Fatore $2$ de $12 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 7.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 7.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 \cdot (297^{\frac{3}{2}})}{6 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 7.5.3

Multiplique $297^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{6 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 7.5.4

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 7.5.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{3}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$282.85585100 \dots$

Etapa 9