Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{5} x \sqrt{2 x^{2} - 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x^{2} - 1$ . Depois, $d u = 4 x d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x^{2} - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $4 x$ e $0$ .

$4 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{2} - 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5^{2} - 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 25 - 1$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$u_{upper} = 50 - 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $1$ de $50$ .

$u_{upper} = 49$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 49$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{49} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{49}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $49$ e em $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.4

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.6

Multiplique $2$ por $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 6.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 6.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{686 - 2}{3}$

Etapa 6.2.10

Subtraia $2$ de $686$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{684}{3}$

Etapa 6.2.11

Cancele o fator comum de $684$ e $3$ .

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Etapa 6.2.11.1

Fatore $3$ de $684$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3}$

Etapa 6.2.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 (1)}$

Etapa 6.2.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 \cdot 1}$

Etapa 6.2.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{228}{1}$

Etapa 6.2.11.2.4

Divida $228$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 228$

Etapa 6.2.12

Combine $\frac{1}{4}$ e $228$ .

$\frac{228}{4}$

Etapa 6.2.13

Cancele o fator comum de $228$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.13.1

Fatore $4$ de $228$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4}$

Etapa 6.2.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.13.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4 (1)}$

Etapa 6.2.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 57}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.2.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{57}{1}$

Etapa 6.2.13.2.4

Divida $57$ por $1$ .

$57$

Etapa 7