Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{e} x^{2} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3}$ em $e$ e em $1$ .

$(\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Etapa 5.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $e$ e em $1$ .

$\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 5.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 5.1.3.4

Para escrever $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 5.1.3.5

Combine $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 5.1.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 5.1.3.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{e^{3} - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{3}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

$e$ é aproximadamente $2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{3}$

Etapa 5.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{3}$

Etapa 5.3.3

Divida $e$ por $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (e) - 1}{3}$

Etapa 5.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \cdot 1 - 1}{3}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 - 1}{3}$

Etapa 5.3.6

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Forma decimal:

$5.36184564 \dots$

Etapa 7