Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{11}{x} d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Etapa 2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{11}{x} d x$

Etapa 6

Como $11$ é constante com relação a $x$ , mova $11$ para fora da integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 7

Multiplique $11$ por $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $e$ e em $1$ .

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Etapa 9.1.2

Avalie $\ln (| x |)$ em $e$ e em $1$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 9.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 9.3.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 9.3.3.3

Cancele o fator comum.

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 9.3.3.4

Reescreva a expressão.

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 9.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Etapa 9.3.5

$e$ é aproximadamente $2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Etapa 9.3.6

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{1})$

Etapa 9.3.7

Divida $e$ por $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (e)$

Etapa 9.3.8

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \cdot 1$

Etapa 9.3.9

Multiplique $- 11$ por $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11$

Etapa 9.3.10

Subtraia $11$ de $- 2$ .

$2 e^{2} - 13$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 e^{2} - 13$

Forma decimal:

$1.77811219 \dots$

Etapa 11