Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{x^{2}} \arctan (t) d t$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \arctan (t)$ e $d v = 1$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

Etapa 2

Combine $t$ e $\frac{1}{t^{2} + 1}$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Etapa 3

Deixe $u = t^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 t d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = t^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Etapa 3.1.4

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 t + 0$

Etapa 3.1.5

Some $2 t$ e $0$ .

$2 t$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 2^{2} + 1$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Etapa 3.3.2

Some $4$ e $1$ .

$u_{lower} = 5$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {(x^{2})}^{2} + 1$

Etapa 3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = x^{2 \cdot 2} + 1$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{upper} = x^{4} + 1$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = x^{4} + 1$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 4.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - (\frac{1}{2} \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\arctan (t) t$ em $x^{2}$ e em $2$ .

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

Etapa 7.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $x^{4} + 1$ e em $5$ .

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} ((\ln (| x^{4} + 1 |)) - \ln (| 5 |))$

Etapa 7.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} (\ln (| x^{4} + 1 |) - \ln (| 5 |))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$

Etapa 8.2

Combine $\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2}$

Etapa 8.3

Para escrever $\arctan (x^{2}) x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Etapa 8.4

Combine $\arctan (x^{2}) x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Etapa 8.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Etapa 8.6

Mova $2$ para a esquerda de $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

Etapa 9

Simplifique os termos.

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Etapa 9.1

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{| 5 |} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

Etapa 9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{5} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

Etapa 9.2.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $| x^{4} + 1 |$ .

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Etapa 9.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Etapa 9.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.3.1

Fatore $2$ de $2 \arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Etapa 9.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Etapa 9.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\arctan (x^{2}) x^{2} + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

Etapa 9.2.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Etapa 9.2.5

Para escrever $\arctan (x^{2}) x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Etapa 9.2.6

Combine $\arctan (x^{2}) x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Etapa 9.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Etapa 9.2.8

Mova $2$ para a esquerda de $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

Etapa 9.2.9

Avalie $\arctan (2)$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \cdot 1.10714871$

Etapa 9.2.10

Multiplique $- 2$ por $1.10714871$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2.21429743$