Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2} - 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} - 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{lower} = 4 - 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$u_{lower} = 3$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 9 - 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $1$ de $9$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 8$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{3}^{8} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{8} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int_{3}^{8} \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{8} \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{3}^{8}$

Etapa 5

Avalie $\ln (| u |)$ em $8$ e em $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 8 |) - \ln (| 3 |))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 8 |}{| 3 |})$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| 8 |}{| 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 8 |}{| 3 |})}{2}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $8$ é $8$ .

$\frac{\ln (\frac{8}{| 3 |})}{2}$

Etapa 7.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{\ln (\frac{8}{3})}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (\frac{8}{3})}{2}$

Forma decimal:

$0.49041462 \dots$

Etapa 9