Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{4} - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $4$ e em $1$ .

$(\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{4})$

Etapa 6.1.2

Avalie $- x^{- 1}$ em $4$ e em $1$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

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Etapa 6.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Etapa 6.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + 1)$

Etapa 6.1.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Etapa 6.1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 4}{4}$

Etapa 6.1.3.5

Some $- 1$ e $4$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |) - \frac{3}{4}$

Etapa 6.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\ln (\frac{4}{| 1 |}) - \frac{3}{4}$

Etapa 6.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (\frac{4}{1}) - \frac{3}{4}$

Etapa 6.3.3

Divida $4$ por $1$ .

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (4) - \frac{3}{4}$

Forma decimal:

$0.63629436 \dots$

Etapa 8