Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} 5 y \sqrt{y} + 3 \sqrt{y} d y$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 y \cdot y^{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Etapa 1.2

Multiplique $y$ por $y^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y) + 3 \sqrt{y} d y$

Etapa 1.2.2

Multiplique $y^{\frac{1}{2}}$ por $y$ .

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Etapa 1.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + 3 \sqrt{y} d y$

Etapa 1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + 1} + 3 \sqrt{y} d y$

Etapa 1.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Etapa 1.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Etapa 3

Como $5$ é constante com relação a $y$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{1}^{4} y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{\frac{3}{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Etapa 5

Combine $\frac{2}{5}$ e $y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Etapa 6

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} \sqrt{y} d y$

Etapa 7

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{\frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Etapa 9.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ em $4$ e em $1$ .

$5 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Etapa 9.2.2

Avalie $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $4$ e em $1$ .

$5 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3

Simplifique.

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Etapa 9.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$5 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$5 (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.5

Multiplique $2$ por $32$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \frac{64 - 2}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.9

Subtraia $2$ de $64$ .

$5 (\frac{62}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.10

Combine $5$ e $\frac{62}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.11

Multiplique $5$ por $62$ .

$\frac{310}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.12

Cancele o fator comum de $310$ e $5$ .

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Etapa 9.2.3.12.1

Fatore $5$ de $310$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.12.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5 (1)} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 62}{5 \cdot 1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{62}{1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.12.2.4

Divida $62$ por $1$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.13

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.14

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.15

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.15.1

Cancele o fator comum.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.15.2

Reescreva a expressão.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.16

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.17

Multiplique $2$ por $8$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Etapa 9.2.3.18

Um elevado a qualquer potência é um.

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Etapa 9.2.3.19

Multiplique $2$ por $1$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 9.2.3.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$62 + 3 \frac{16 - 2}{3}$

Etapa 9.2.3.21

Subtraia $2$ de $16$ .

$62 + 3 (\frac{14}{3})$

Etapa 9.2.3.22

Combine $3$ e $\frac{14}{3}$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Etapa 9.2.3.23

Multiplique $3$ por $14$ .

$62 + \frac{42}{3}$

Etapa 9.2.3.24

Cancele o fator comum de $42$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.24.1

Fatore $3$ de $42$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Etapa 9.2.3.24.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.24.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Etapa 9.2.3.24.2.2

Cancele o fator comum.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Etapa 9.2.3.24.2.3

Reescreva a expressão.

$62 + \frac{14}{1}$

Etapa 9.2.3.24.2.4

Divida $14$ por $1$ .

$62 + 14$

Etapa 9.2.3.25

Some $62$ e $14$ .

$76$

Etapa 10