Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} (1 - u) \sqrt{u} d u$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} (1 - u) u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2

Expanda $(1 - u) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{4} 1 u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.2

Multiplique $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3

Fatore o negativo.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) d u$

Etapa 2.4

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) d u$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{1 + \frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2 + 1}{2}} d u$

Etapa 2.8

Some $2$ e $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4})$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

Etapa 7.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $4$ e em $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

Etapa 7.2.2

Avalie $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ em $4$ e em $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.6

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{16 - 2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.10

Subtraia $2$ de $16$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.11

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.12

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.13

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.3.13.1

Cancele o fator comum.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.13.2

Reescreva a expressão.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.14

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.15

Multiplique $2$ por $32$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Etapa 7.2.3.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5})$

Etapa 7.2.3.17

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Etapa 7.2.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{14}{3} - \frac{64 - 2}{5}$

Etapa 7.2.3.19

Subtraia $2$ de $64$ .

$\frac{14}{3} - \frac{62}{5}$

Etapa 7.2.3.20

Para escrever $\frac{14}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5}$

Etapa 7.2.3.21

Para escrever $- \frac{62}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 7.2.3.22

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.3.22.1

Multiplique $\frac{14}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 7.2.3.22.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 7.2.3.22.3

Multiplique $\frac{62}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Etapa 7.2.3.22.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{15}$

Etapa 7.2.3.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{14 \cdot 5 - 62 \cdot 3}{15}$

Etapa 7.2.3.24

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.24.1

Multiplique $14$ por $5$ .

$\frac{70 - 62 \cdot 3}{15}$

Etapa 7.2.3.24.2

Multiplique $- 62$ por $3$ .

$\frac{70 - 186}{15}$

Etapa 7.2.3.24.3

Subtraia $186$ de $70$ .

$\frac{- 116}{15}$

Etapa 7.2.3.25

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{116}{15}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{116}{15}$

Forma decimal:

$- 7.7\overline{3}$

Forma de número misto:

$- 7 \frac{11}{15}$

Etapa 9