Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{2}{x}} d x$

Etapa 1

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{x}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Como $\sqrt{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\sqrt{2}$ para fora da integral.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 3.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $2 x^{\frac{1}{2}}$ em $4$ e em $1$ .

$\sqrt{2} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.2.4

Avalie o expoente.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.2.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1)$

Etapa 5.2.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\sqrt{2} (4 - 2)$

Etapa 5.2.8

Subtraia $2$ de $4$ .

$\sqrt{2} \cdot 2$

Etapa 5.2.9

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$2.82842712 \dots$

Etapa 7