Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ como $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

Etapa 1.2

Expanda $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{2} x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 1.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 1.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 1.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.3.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Etapa 1.3.1.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Etapa 1.3.1.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Etapa 1.3.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Etapa 1.3.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{2} x^{1 + 1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ e $2 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Etapa 8.1.2

Combine $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2}$ e $- x^{- 1}]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Etapa 8.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.4

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.5

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 + 4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.2.7.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{8 + 12}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.7.2

Some $8$ e $12$ .

$\frac{20}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.9

Para escrever $\frac{20}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.10

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.11

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.2.2.11.1

Multiplique $\frac{20}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.11.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.11.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.11.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{20 \cdot 2 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.2.13.1

Multiplique $20$ por $2$ .

$\frac{40 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.13.2

Subtraia $3$ de $40$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.14

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.15

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.16

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.17

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.18

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.20

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.2.20.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 6}{3} - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.20.2

Some $1$ e $6$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2.21

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot 1)$

Etapa 8.2.2.22

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1)$

Etapa 8.2.2.23

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 8.2.2.24

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

Etapa 8.2.2.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 8.2.2.26

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.26.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 3}{3}$

Etapa 8.2.2.26.2

Subtraia $3$ de $7$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3}$

Etapa 8.2.2.27

Para escrever $- \frac{4}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 8.2.2.28

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.2.2.28.1

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Etapa 8.2.2.28.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}$

Etapa 8.2.2.29

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{37 - 4 \cdot 2}{6}$

Etapa 8.2.2.30

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.30.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{37 - 8}{6}$

Etapa 8.2.2.30.2

Subtraia $8$ de $37$ .

$\frac{29}{6}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{29}{6}$

Forma decimal:

$4.8\overline{3}$

Forma de número misto:

$4 \frac{5}{6}$

Etapa 10