Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = - 4 x$ . Depois, $d u = - 4 d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = - 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 3.1.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u_{lower} = - 4$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 2$

Etapa 3.5

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$u_{upper} = - 8$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 8$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$2 \int_{- 4}^{- 8} - \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{1}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 11

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 11.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 11.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 11.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 11.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

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Etapa 13.1

Avalie $e^{u}$ em $- 8$ e em $- 4$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Etapa 13.2

Avalie $- x^{- 1}$ em $2$ e em $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Etapa 13.3

Simplifique.

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Etapa 13.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Etapa 13.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Etapa 13.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Etapa 13.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Etapa 13.3.5

Some $- 1$ e $2$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{1}{2}$

Etapa 13.3.6

Para escrever $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 13.3.7

Combine $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 13.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 13.3.9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 (\frac{1}{2}) (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Etapa 13.3.10

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{- 2}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Etapa 13.3.11

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 13.3.11.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Etapa 13.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.3.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Etapa 13.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Etapa 13.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{- 1}{1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Etapa 13.3.11.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)}{2}$

Etapa 14.2

Fatore $- 1$ de $- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

Etapa 14.3

Reescreva $- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ como $- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

Etapa 14.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.49100991 \dots$

Etapa 16