Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} x \sin (2 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Etapa 5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 5.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 5.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 6

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Etapa 9

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ em $π$ e em $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Etapa 10.2

Avalie $\sin (u)$ em $2 π$ e em $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.2

Multiplique $0$ por $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 10.3.3.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.4

Some $- \frac{π \cos (2 π)}{2}$ e $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Etapa 10.3.5

Para escrever $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 10.3.6

Combine $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Etapa 10.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Etapa 10.3.8

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Etapa 10.3.9

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 10.3.9.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 (1)}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Etapa 10.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.3.9.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Etapa 10.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Etapa 10.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)}{2}$

Etapa 11.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)}{2}$

Etapa 11.3

Some $\sin (2 π)$ e $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} \sin (2 π)}{2}$

Etapa 11.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 π)$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Etapa 11.5

Multiplique $\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Etapa 11.6

Combine.

$\frac{2 (- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2})}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 (π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)}{4}$

Etapa 11.11

Fatore $- 1$ de $- 2 π \cos (2 π)$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{4}$

Etapa 11.12

Fatore $- 1$ de $\sin (2 π)$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))}{4}$

Etapa 11.13

Fatore $- 1$ de $- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))$ .

$\frac{- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Etapa 11.14

Reescreva $- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ como $- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ .

$\frac{- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Etapa 11.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 π \cos (2 π) - \sin (2 π)}{4}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \frac{2 π \cos (0) - \sin (2 π)}{4}$

Etapa 12.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{2 π \cdot 1 - \sin (2 π)}{4}$

Etapa 12.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{2 π - \sin (2 π)}{4}$

Etapa 12.4

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \frac{2 π - \sin (0)}{4}$

Etapa 12.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{2 π - 0}{4}$

Etapa 12.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- \frac{2 π + 0}{4}$

Etapa 12.7

Cancele o fator comum de $2 π + 0$ e $4$ .

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Etapa 12.7.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$- \frac{2 (π) + 0}{4}$

Etapa 12.7.2

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{2 (π) + 2 (0)}{4}$

Etapa 12.7.3

Fatore $2$ de $2 (π) + 2 (0)$ .

$- \frac{2 (π + 0)}{4}$

Etapa 12.7.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.7.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{2 (π + 0)}{2 (2)}$

Etapa 12.7.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 (π + 0)}{2 \cdot 2}$

Etapa 12.7.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{π + 0}{2}$

Etapa 12.8

Some $π$ e $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{π}{2}$

Forma decimal:

$- 1.57079632 \dots$