Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} x \cos (3 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (3 x) d x)$

Etapa 4

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 4.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 4.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 π$

Etapa 4.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

Etapa 4.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Etapa 5

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Etapa 7.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Etapa 8

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ em $π$ e em $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Etapa 9.2

Avalie $- \cos (u)$ em $3 π$ e em $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.2

Multiplique $0$ por $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 9.3.3.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.5

Some $\frac{π \sin (3 π)}{3}$ e $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Etapa 9.3.6

Para escrever $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 9.3.7

Combine $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + \frac{- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Etapa 9.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Etapa 9.3.9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - 3 (\frac{1}{9}) (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Etapa 9.3.10

Combine $- 3$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 3}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Etapa 9.3.11

Cancele o fator comum de $- 3$ e $9$ .

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Etapa 9.3.11.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 (- 1)}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Etapa 9.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.11.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Etapa 9.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Etapa 9.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Etapa 9.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Etapa 10

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Etapa 11.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{π \sin (0) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Etapa 11.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{π \cdot 0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Etapa 11.4

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Etapa 11.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)}{3}$

Etapa 11.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)}{3}$

Etapa 11.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{3}$

Etapa 11.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - 1 + 1)}{3}$

Etapa 11.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (1 + 1)}{3}$

Etapa 11.10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} \cdot 2}{3}$

Etapa 11.11

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

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Etapa 11.11.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{1}{3})}{3}$

Etapa 11.11.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0 + \frac{- 2}{3}}{3}$

Etapa 11.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{0 - \frac{2}{3}}{3}$

Etapa 11.13

Subtraia $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$\frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Etapa 11.14

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 11.15

Multiplique $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 11.15.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 3}$

Etapa 11.15.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{2}{9}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{2}{9}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{2}$