Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} \sin (4 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 x$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 π$

Etapa 1.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Etapa 1.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{4 π} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{4 π} \frac{\sin (u)}{4} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

Etapa 4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Etapa 5

Avalie $- \cos (u)$ em $4 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + \cos (0))$

Etapa 6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (0) + 1)$

Etapa 7.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{4} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Etapa 7.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (- 1 + 1)$

Etapa 7.4

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0$