Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Depois, $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ , então, $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + \cos (7 t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (7 t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = 7 t$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $7 t$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

Etapa 1.1.3.1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

Etapa 1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $7 t$ .

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

Etapa 1.1.3.2

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7 t$ em relação a $t$ é $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$0 - 7 \sin (7 t)$

Etapa 1.1.4

Subtraia $7 \sin (7 t)$ de $0$ .

$- 7 \sin (7 t)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Etapa 1.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Etapa 1.5.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Etapa 1.5.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Etapa 2.2

Combine ${u_{2}}^{2}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ em $0$ e em $2$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Etapa 6.2.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Etapa 6.2.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Etapa 6.2.4

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

Etapa 6.2.5

Combine $- 8$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

Etapa 6.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

Etapa 6.2.7

Subtraia $\frac{8}{3}$ de $0$ .

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

Etapa 6.2.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

Etapa 6.2.9

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

Etapa 6.2.10

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

Etapa 6.2.11

Multiplique $7$ por $3$ .

$\frac{8}{21}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{8}{21}$

Forma decimal:

$0.\overline{380952}$