Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} 3 \sqrt{4 u + 1} d u$

Etapa 1

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{0}^{2} \sqrt{4 u + 1} d u$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 4 u + 1$ . Depois, $d u_{1} = 4 d u$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = d u$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 4 u + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $4 u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [4 u + 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 u + 1$ com relação a $u$ é $\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d u} [4 u]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $4 u$ em relação a $u$ é $4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$4 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [1]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d u} [1]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $1$ em relação a $u$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $u$ em $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 2.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $u$ em $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Etapa 2.5.2

Some $8$ e $1$ .

$u_{upper} = 9$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$3 \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 3

Combine $\sqrt{u_{1}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$3 \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u_{1}}}{4} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 5

Combine frações.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ em $9$ e em $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.6

Multiplique $2$ por $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.7

Cancele o fator comum de $54$ e $3$ .

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Etapa 7.2.7.1

Fatore $3$ de $54$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.7.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 7.2.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 7.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3})$

Etapa 7.2.10

Para escrever $18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 7.2.11

Combine $18$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 7.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Etapa 7.2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.13.1

Multiplique $18$ por $3$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Etapa 7.2.13.2

Subtraia $2$ de $54$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{52}{3}$

Etapa 7.2.14

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{52}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 3}$

Etapa 7.2.15

Multiplique $3$ por $52$ .

$\frac{156}{4 \cdot 3}$

Etapa 7.2.16

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{156}{12}$

Etapa 7.2.17

Cancele o fator comum de $156$ e $12$ .

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Etapa 7.2.17.1

Fatore $12$ de $156$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12}$

Etapa 7.2.17.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.17.2.1

Fatore $12$ de $12$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12 (1)}$

Etapa 7.2.17.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \cdot 13}{12 \cdot 1}$

Etapa 7.2.17.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{13}{1}$

Etapa 7.2.17.2.4

Divida $13$ por $1$ .

$13$

Etapa 8