Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{3} e^{- 7 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = - 7 x$ . Depois, $d u = - 7 d x$ , então, $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = - 7 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $- 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$

Etapa 1.1.2

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$- 7$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - 7 x$ .

$u_{lower} = - 7 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - 7 x$ .

$u_{upper} = - 7 \cdot 3$

Etapa 1.5

Multiplique $- 7$ por $3$ .

$u_{upper} = - 21$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 21$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{- 21} e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{0}^{- 21} e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Etapa 2.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int_{0}^{- 21} - \frac{e^{u}}{7} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{0}^{- 21} \frac{e^{u}}{7} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{7} \int_{0}^{- 21} e^{u} d u)$

Etapa 5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{7} e^{u}]_{0}^{- 21}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $e^{u}$ em $- 21$ e em $0$ .

$- \frac{1}{7} ((e^{- 21}) - e^{0})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{1}{7} (e^{- 21} - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{7} (e^{- 21} - 1)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{7} e^{- 21} - \frac{1}{7} \cdot - 1$

Etapa 7.2

Combine $e^{- 21}$ e $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{e^{- 21}}{7} - \frac{1}{7} \cdot - 1$

Etapa 7.3

Multiplique $- \frac{1}{7} \cdot - 1$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{e^{- 21}}{7} + 1 (\frac{1}{7})$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$- \frac{e^{- 21}}{7} + \frac{1}{7}$

Etapa 7.4

Mova $e^{- 21}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{7 e^{21}} + \frac{1}{7}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{7 e^{21}} + \frac{1}{7}$

Forma decimal:

$0.14285714 \dots$

Etapa 9