Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{4.192} 120 \sin (2 t) d t$

Etapa 1

Como $120$ é constante com relação a $t$ , mova $120$ para fora da integral.

$120 \int_{0}^{4.192} \sin (2 t) d t$

Etapa 2

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4.192$

Etapa 2.5

Multiplique $2$ por $4.192$ .

$u_{upper} = 8.384$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8.384$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$120 \int_{0}^{8.384} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$120 \int_{0}^{8.384} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$120 (\frac{1}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $120$ .

$\frac{120}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $120$ e $2$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $120$ .

$\frac{2 \cdot 60}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 60}{2 (1)} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 60}{2 \cdot 1} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{60}{1} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Etapa 5.2.2.4

Divida $60$ por $1$ .

$60 \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Etapa 6

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$60 (- \cos (u)]_{0}^{8.384})$

Etapa 7

Avalie $- \cos (u)$ em $8.384$ e em $0$ .

$60 (- \cos (8.384) + \cos (0))$

Etapa 8

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$60 (- \cos (8.384) + 1)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$60 (- \cos (8.384)) + 60 \cdot 1$

Etapa 9.2

Multiplique $- 1$ por $60$ .

$- 60 \cos (8.384) + 60 \cdot 1$

Etapa 9.3

Multiplique $60$ por $1$ .

$- 60 \cos (8.384) + 60$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 60 \cos (8.384) + 60$

Forma decimal:

$90.33295124 \dots$