Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\ln (2)} \frac{e^{x} + e^{- x}}{3} d x$

Etapa 1

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} + e^{- x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} (\int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

Etapa 3

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

Etapa 4

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{upper} = - \ln (2)$

Etapa 4.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Etapa 4.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u)$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u)$

Etapa 6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $e^{x}$ em $\ln (2)$ e em $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

Etapa 7.2

Avalie $e^{u}$ em $- \ln (2)$ e em $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{3} (2 - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Etapa 7.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Etapa 7.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Etapa 7.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Etapa 7.3.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1))$

Etapa 7.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1.1

Simplifique $- \ln (2)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1))$

Etapa 8.1.1.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{1}{3} (1 - (2^{- 1} - 1))$

Etapa 8.1.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1))$

Etapa 8.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Etapa 8.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Etapa 8.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Etapa 8.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 2}{2})$

Etapa 8.1.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{- 1}{2})$

Etapa 8.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} (1 - - \frac{1}{2})$

Etapa 8.1.7

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 8.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (1 + 1 (\frac{1}{2}))$

Etapa 8.1.7.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2})$

Etapa 8.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 8.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 + 1}{2}$

Etapa 8.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 8.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 8.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$

Etapa 10